Оценка вероятности банкротства страховой компании в классической модели риска

Стоимость. Услуги.

Классический процесс риска, описывающий эволюцию во времени капитала  страховой компании, задается соотношением

,

где t – время; u – начальный резерв страховой компании; c – интенсивность поступления премий;  – агрегированные выплаты требований к моменту , ;  - независимые одинаково распределенные случайные величины (ущербы) с функцией распределения  и средним значением ,  при ;  – число выплат к моменту t (пуассоновский процесс с интенсивностью ).

Известно, что функция вероятности небанкротства на бесконечном интервале времени  при начальном капитале u удовлетворяет интегральному уравнению:

 (1)

Это уравнение является интегральным уравнением Вольтерра и допускает аналитическое решение только в частном случае показательного распределения страховых выплат [3]. Поэтому наша работа была посвящена численному нахождению  методом последовательных приближений, в частности мы рассматриваем гамма-распределение и распределение Вейбулла в качестве . Как известно, правая часть уравнения Вольтерра (1) является оператором сжатия, поэтому оно имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений Пикара.

В работе [1] показано, что для рассматриваемого уравнения Вольтерра (1) сжатие имеет место на каждой итерации с коэффициентом

 (2)

равномерно по всем , что обеспечивает высокую скорость сходимости при всех . Показано, что при старте из начальных функций  и последовательные приближения монотонно сходятся к решению .

На основании теоретически обоснованного в работе [1] метода последовательных приближений для решения уравнения вероятности неразорения нами была написана компьютерная программа на языке Basic, позволяющая находить численные значения решения этого уравнения для любых начальных параметров и функций распределения, отвечающим указанному условию для сжатия (2) на каждой итерации, с наперед заданной точностью.

Но поскольку численное решение этого уравнения является затратным по времени для современных персональных компьютеров для больших значений начального капитала, в работе были рассмотрены аппроксимации вероятности неразорения, такие как аппроксимации Беекмана-Боуэрса, Де Вильдера и диффузионная. Они строятся из иных соображений, нежели уравнение для вероятности неразорения, и позволяют находить приближенное значение вероятности неразорения с меньшими временными затратами.

Для аппроксимации Беекмана-Боуэрса [2]:

, (3)

где

.

Идея построения аппроксимационной формулы заключается в замене  в формуле (3) гамма-распределением , первые два момента которого совпадают с моментами .

Гамма-распределение имеет вид: .

В качестве функции , кроме оригинальной в этом случае функции гамма-распределения, нами использовалась также функция распределения Вейбулла.

Распределение Вейбулла имеет вид: .

Моменты , .

Функция распределения Вейбулла является обобщением частного случая гамма-распределения и тоже может быть использована для моделирования поступления требований к страховой компании.

При этом задача нахождения параметров распределения Вейбулла при известных математическом ожидании и дисперсии не является столь тривиальной, как для гамма-распределения. С помощью maple, мы решали систему уравнений, составленную на основании выражений для моментов функции распределения Вейбулла:

Результаты расчетов для различных начальных параметров, как значений вероятности неразорения , полученных численным решением уравнения Вольтерра с помощью компьютера, так и приближенных, полученных с помощью аппроксимаций, а также сравнение результатов между собой представлены в ряде примеров, один из них приведем здесь.

Пусть выплаты имеют распределение Вейбулла с математическим ожиданием , и дисперсией . Пусть также , .Тогда первые три момента: , ,. В таблице приведены значения , рассчитанные по методу последовательных приближений, значения при аппроксимациях, погрешность для этих аппроксимаций.

На основании этих и других примеров можно сказать, что наиболее точной из рассмотренных аппроксимаций является аппроксимация Де Вильдера. Аппроксимация Беекмана-Боуэрса дает более точный результат с функцией гамма-распределения, чем с функцией распределения Вейбулла для небольших значений начального капитала, причем независимо от функции распределения выплат . Для больших значений начального капитала аппроксимация Беекмана-Боуэрса дает более точный результат с функцией распределения Вейбулла, чем с гамма-распределением. Наименее точные значения получаются при диффузионной аппроксимации. Полученные результаты позволяют планировать стратегию страховой компании в зависимости от величины начального капитала.